Юрий Алексеевич Якунин окончил среднюю школу в Москве в 1941 году, был призван в армию. В годы Великой Отечественной войны участвовал в боевых действиях на Калининском, 1-м Прибалтийском, 2-м Белорусском фронтах, в боях на подступах к Берлину. Был ранен, награжден боевыми орденами и медалями. В 1949 году Юрий Алексеевич Якунин окончил III Московский медицинский институт и оставлен в ординатуре при кафедре детских болезней. Затем поступил в аспирантуру и в 1954 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Высшая нервная деятельность при туберкулезном менингите у детей». В последующие годы являлся активным участником борьбы с полиомиелитом в нашей стране. В 1965 году Юрий Алексеевич Якунин защитил докторскую диссертацию, посвященную расстройствам дыхания у детей, больных полиомиелитом и другими заболеваниями нервной системы.
На протяжении 33 лет Юрий Алексеевич Якунин непрерывно работал в Московском НИИ педиатрии и детской хирургии МЗ РСФСР, возглавив с 1965 года отдел клинической неврологии. Юрием Алексеевичем Якуниным много сделано в изучении нейроинфекций у детей - менингитов, энцефалитов, вакцинальных осложнений. Под его руководством выполнены исследования судорожных состояний, расстройств мозгового кровообращения, черепно-мозговых травм детского возраста. В последующие 20 лет его интересы все более концентрируются на проблемах патологии нервной системы новорожденных, проводятся серии комплексных исследований (клинико-биохимических, структурно-функциональных) по патогенезу перинатальных поражений ЦНС. Разрабатываются вопросы клинической синдромологии, особенностей диагностики поражений мозга у новорожденных и их лечение. Многолетние исследования позволили Юрию Алексеевичу Якунину с сотрудниками разработать клиническую классификацию поражений ЦНС у новорожденных и детей раннего возраста.
Юрием Алексеевичем Якуниным опубликовано 167 работ, в том числе монография «Болезни нервной системы у новорожденных и детей раннего возраста» (1979). Под руководством и при участии Юрия Алексеевича Якунина защищено 3 докторских и 15 кандидатских диссертаций по детской неврологии.
Юрий Алексеевич Якунин являлся членом правления детской секции Всесоюзного научного общества невропатологов и психиатров. В 1966-1971 гг. работал главным внештатным детским невропатологом Минздрава РСФСР; являлся председателем секции по детской неврологии проблемной комиссии по педиатрии Ученого медицинского Совета Минздрава РФ. Заслуженный деятель науки Российской Федерации.
Юрий Алексеевич был наблюдательным психологом, великолепным рассказчиком. На досуге он занимался литературным творчеством. Известны опубликованные в 1990-х гг. серии его новелл и рассказов «Осенние сюжеты» и др.
